MATEMÁTICAS
1.
INTRODUCCIÓN
Matemáticas, estudio de las relaciones
entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas
utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En
el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad,
referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la
aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia
mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la
ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones
necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia
que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e
inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que
transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
Trataremos la evolución
de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En
realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los
diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se
pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras
geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente,
en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran
abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.
2.
LAS MATEMÁTICAS EN LA ANTIGÜEDAD
Las primeras referencias
a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en
Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con
cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos
matemáticos como los axiomas o las demostraciones.
Los primeros libros egipcios,
escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal
con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...),
similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban
escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado,
el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así
sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las
decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en
duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.
Los egipcios utilizaban
sumas de fracciones unidad (), junto con la fracción , para expresar todas
las fracciones. Por ejemplo, era la suma de las fracciones y ~. Utilizando
este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con
fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría
encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos
y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto,
pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un
cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se
obtiene utilizando la constante pi (3,14).
El sistema babilónico
de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se
utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme);
una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba
al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por
estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias.
El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir
de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número
completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el
del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 +
10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de
manera que el ejemplo anterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 ×
(), o 2 + 27 × () + 10 × ()-2. Este sistema, denominado sexagesimal
(base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).
Con el tiempo, los babilonios
desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar
las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso
capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y
resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los
babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de
multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto.
Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas
geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una
buena aproximación de Ã.
1.
Las matemáticas en Grecia
Los griegos tomaron elementos
de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más
importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una
estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los
cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto
y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los
números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron
importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se
atribuyen al propio Pitágoras.
En el siglo V a.C., algunos
de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de
Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una
pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas
en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de
ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema
de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo
dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el
mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo
(construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos
problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos
más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta
el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden
resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.
A finales del siglo V
a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz
de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos
cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números
naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el
lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales
(1, 2, 3...), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la
diagonal y el lado de un cuadrado (este número, Ã, es lo que hoy se denomina número
irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica
de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no
numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de
Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides.
Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos
sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.
Euclides, matemático y
profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió
tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos
contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del
siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del
círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría
del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.
El siglo posterior a Euclides
estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en
los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de
Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de
secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las
áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían
sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como
tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia
escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes. También investigó los
centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en
agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo
XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un
tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse,
parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la
geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés
René Descartes en el siglo XVII.
Después de Euclides, Arquímedes
y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de
Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición
aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las
construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de
Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque
ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las
soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias
incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se
estudian en el análisis diofántico.
2.
Las matemáticas aplicadas en Grecia
En paralelo con los estudios
sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de
óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides
y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del
siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de
almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las
cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban
la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que
crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del
seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera
versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían
con un incremento de 7y°, de 0° a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el
siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado
hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una
tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de y° que, aunque expresadas
en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.
Mientras tanto, se desarrollaron
otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un
teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— para
calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos
avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver
problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que
sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.
3.
LAS MATEMÁTICAS EN LA EDAD MEDIA
En Grecia, después de
Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos matemáticos
de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se
hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición.
Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas
obras aparecieron en el mundo árabe.
1.
Las matemáticas en el mundo islámico
Después de un siglo de
expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la
península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la
península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a
incorporar a su propia ciencia los resultados de “ciencias extranjeras”. Los
traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida
por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones
árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.
Hacia el año 900, el periodo
de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a
construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los
matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en
aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el
siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de
extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas
y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwārizmī (de su nombre procede la
palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra
álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para
polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim
ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y
volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la
resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir
ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función
seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se
convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De
triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.
Finalmente, algunos matemáticos
árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros
crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de
ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte
de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones.
Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos
fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante
la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca
Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética,
que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en
fuentes árabes para sus estudios.
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